求基础解系的方法如下：

高斯消元法

将线性方程组转化为增广矩阵形式。

应用高斯消元法或其他方法将增广矩阵变换为行简化阶梯型矩阵。

确定秩和自由变量

通过观察行简化阶梯型矩阵的形式，确定方程组的秩（即非零行的个数）。

秩即为矩阵的秩，记为 （ r ）。

自由变量的个数等于未知数的个数 （ n ） 减去矩阵的秩 （ r ），即 （ n - r ）。

选择自由变量的取值

选择合适的任意值（通常取为参数）作为自由变量的取值。

可以令其中一个自由变量为1，其他自由变量为0，得到一个特解。

也可以令所有自由变量分别取1和0的组合，得到多个特解。

求解主变量

根据自由变量的取值，求解主变量。

主变量和自由变量的取值组合构成基础解系。

表示基础解系

将基础解系表示为参数形式或标准形式。

可以通过代入不同的自由变量取值，得到基础解系中的不同解向量。

示例

假设有线性方程组：

[

begin{cases}

2x + 3y = 8

4x - y = 11

end{cases}

]

转化为增广矩阵

[

left[

begin{array}{cc|c}

2 & 3 & 8

4 & -1 & 11

end{array}

right]

]

高斯消元

通过初等行变换，得到行简化阶梯型矩阵：

[

left[

begin{array}{cc|c}

1 & 0 & frac{19}{2}

0 & 1 & -frac{1}{2}

end{array}

right]

]

确定秩和自由变量

秩 （ r = 2 ），自由变量个数为 （ n - r = 2 ）。

选择自由变量的取值

令 （ y = 1 ），则 （ x = -frac{1}{2} ）。

令 （ y = 0 ），则 （ x = frac{19}{2} ）。

求解主变量

当 （ y = 1 ） 时， （ x = -frac{1}{2} ）。

当 （ y = 0 ） 时， （ x = frac{19}{2} ）。

表示基础解系

基础解系为 （ left[ -frac{1}{2}, 1 right] ） 和 （ left[ frac{19}{2}, 0 right] ）。

通过以上步骤，我们求得了线性方程组的基础解系。