求基础解系的一般步骤如下：

确定自由未知量

设系数矩阵为 （A），增广矩阵为 （Ab），则 （A） 的秩记为 （r），未知数个数记为 （n）。

自由未知量是那些在行最简形中对应于零行的变量。

对矩阵进行初等行变换

将系数矩阵 （A） 化为行最简形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。

在行最简形中，非零行的第一个非零元素（称为“主元”）所在的列对应的变量是主变量，其余列对应的变量是自由变量。

构建基础解系

令自由变量分别取值为单位矩阵的每一列，但只取前 （n-r） 列（因为自由变量的个数为 （n-r））。

将这些取值代入行最简形方程组，得到的基础解系中的解向量即为所求。

验证线性独立性

确保基础解系中的解向量线性无关，即任何一个解向量都不能被其余解向量线性表示。

具体步骤示例

假设有一个 （3 times 3） 的矩阵 （A）：

[ A = begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & 0 & 0

0 & 0 & 0

end{pmatrix} ]

确定自由未知量

矩阵 （A） 的秩 （r = 1），因此自由变量为 （x_2） 和 （x_3）。

对矩阵进行初等行变换

通过初等行变换，矩阵 （A） 化为行最简形：

[ begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & 0 & 0

0 & 0 & 0

end{pmatrix}

rightarrow

begin{pmatrix}

1 & 0 & 0

0 & 1 & 0

0 & 0 & 0

end{pmatrix} ]

构建基础解系

令 （x_2 = 1），（x_3 = 0），代入行最简形方程组：

[ begin{cases}

x_1 = 0

x_2 = 1

x_3 = 0

end{cases} ]

令 （x_2 = 0），（x_3 = 1），代入行最简形方程组：

[ begin{cases}

x_1 = 0

x_2 = 0

x_3 = 1

end{cases} ]

因此，基础解系为 （begin{pmatrix} 0 1 0 end{pmatrix}） 和 （begin{pmatrix} 0 0 1 end{pmatrix}）。

验证线性独立性

这两个解向量线性无关，因为它们不能相互表示。

通过以上步骤，我们成功求出了基础解系。