求函数的左右导数通常有以下几种方法：

导数的定义式

左导数：设函数 $f（x）$ 在点 $x = a$ 的左半邻域内有定义，当 $x$ 从左侧无限趋近于 $a$ 时，$lim_{{h to 0^-}} frac{f（a + h） - f（a）}{h}$ 存在的极限值即为 $f（x）$ 在 $x = a$ 处的左导数。

右导数：设函数 $f（x）$ 在点 $x = a$ 的右半邻域内有定义，当 $x$ 从右侧无限趋近于 $a$ 时，$lim_{{h to 0^+}} frac{f（a + h） - f（a）}{h}$ 存在的极限值即为 $f（x）$ 在 $x = a$ 处的右导数。

导数极限定理

如果函数 $f（x）$ 在 $x_0$ 的邻域内连续，在去心邻域内可导，且 $lim_{{x to x_0}} f'（x） = A$，则 $f'（x_0） = A$。

拉格朗日中值定理

如果函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 上可导，那么在开区间 $（a, b）$ 内存在一点 $c$，使得 $f'（c） = frac{f（b） - f（a）}{b - a}$。将 $c = a$ 代入，可以得到 $f'（a） = frac{f（a + h） - f（a - h）}{2h}$。当 $h to 0$ 时，上式就变成了左右导数公式。

示例

假设函数 $f（x） = begin{cases}

x^2 sin frac{1}{x}, & x

eq 0

0, & x = 0

end{cases}$

直接求导

由于 $f（x）$ 在 $x = 0$ 处不连续，不能直接求导。

使用导数定义

左导数：

$$

f'_-（0） = lim_{{h to 0^-}} frac{f（0 + h） - f（0）}{h} = lim_{{h to 0^-}} frac{h^2 sin frac{1}{h}}{h} = lim_{{h to 0^-}} h sin frac{1}{h} = 0

$$

右导数：

$$

f'_+（0） = lim_{{h to 0^+}} frac{f（0 + h） - f（0）}{h} = lim_{{h to 0^+}} frac{h^2 sin frac{1}{h}}{h} = lim_{{h to 0^+}} h sin frac{1}{h} = 0

$$

由于 $f'_-（0） = f'_+（0） = 0$，所以 $f（x）$ 在 $x = 0$ 处的导数为 0。

建议

对于连续函数，直接求导即可。

对于不连续函数，使用导数的定义式分别求左右导数。

对于复杂函数，可以考虑使用导数极限定理或拉格朗日中值定理来简化计算。