确定连续区间通常需要遵循以下步骤：

确定函数的定义域

函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合。

需要找出函数中的所有间断点，这些点可能是分母为零的点、对数指数小于零的点、根号内小于零的点等。

检查函数在每一点的连续性

根据函数连续性的定义，如果函数在点 （ x_0 ） 附近有定义，并且满足 （lim_{x to x_0} f（x） = f（x_0）），则称函数在 （ x_0 ） 点连续。

如果函数在区间 （ I ） 上的每一点 （ x in I ） 都连续，则称函数在 （ I ） 上连续。

处理间断点

如果函数在某个间断点 （ x_0 ） 的左右极限存在且相等，则函数在该点连续。

如果函数在某个间断点 （ x_0 ） 的左右极限不相等，则函数在该点不连续。此时，需要将 （ x_0 ） 划分成两个子区间，并分别判断函数在这两个子区间上是否连续。

确定连续区间

将函数在定义域内连续的部分连接起来，形成连续区间。

可以通过遍历法、动态规划法或滑动窗口法等方法来辅助确定连续区间，以提高效率。

示例

假设有一个函数 （ f（x） = frac{1}{x-1} ），其定义域为 （ x neq 1 ）。

确定定义域

定义域为 （ x in （-infty, 1） cup （1, +infty） ）。

检查连续性

函数在 （ x = 1 ） 处不连续，因为分母为零。

在 （ x neq 1 ） 的其他点上，函数连续。

处理间断点

将 （ x = 1 ） 划分为两个子区间：（ （-infty, 1） ） 和 （ （1, +infty） ）。

函数在 （ （-infty, 1） ） 和 （ （1, +infty） ） 上连续。

确定连续区间

连续区间为 （ （-infty, 1） ） 和 （ （1, +infty） ）。

通过以上步骤，可以确定函数 （ f（x） = frac{1}{x-1} ） 的连续区间为 （ （-infty, 1） ） 和 （ （1, +infty） ）。