定积分的定理主要包括：

原函数存在定理 ：

如果函数 \（ f（x） \） 在区间 \（ I \） 上连续，则存在可导函数 \（ F（x） \），使得 \（ F'（x） = f（x） \）。

定积分的充分条件 ：

如果 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上连续，则 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上可积。

如果 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上有界且只有有限个间断点，则 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上可积。

如果 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上单调，则 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上可积。

定积分的重要性质 ：

如果 \（ f（x） \geq 0 \） 在区间 \（ [a,b] \） 上，则 \（ \int_{a}^{b} f（x） \, dx \geq 0 \）。

如果 \（ f（x） \leq g（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上，则 \（ \int_{a}^{b} f（x） \, dx \leq \int_{a}^{b} g（x） \, dx \）。

\（ | \int_{a}^{b} f（x） \, dx | \leq \int_{a}^{b} | f（x） | \, dx \）。

如果 \（ M \） 和 \（ m \） 分别是 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上的最大值和最小值，则 \（ m（b-a） \leq \int_{a}^{b} f（x） \, dx \leq M（b-a） \）。

积分中值定理 ：如果 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上连续，则至少存在一点 \（ \xi \in [a,b] \） 使得 \（ \int_{a}^{b} f（x） \, dx = f（\xi）（b-a） \）。

牛顿-莱布尼茨公式 ：

如果 \（ f（x） \） 是区间 \（ [a,b] \） 上的连续函数，并且 \（ F'（x） = f（x） \），则 \（ \int_{a}^{b} f（x） \, dx = F（b） - F（a） \）。

定积分的可加性 ：

如果积分区间 \（ [a,b] \） 被 \（ c \） 分为两个子区间 \（ [a,c] \） 和 \（ [c,b] \），则 \（ \int_{a}^{b} f（x） \, dx = \int_{a}^{c} f（x） \, dx + \int_{c}^{b} f（x） \, dx \）。

积分上限函数的性质 ：

如果 \（ f（x） \） 在区间 \（ [a,b] \） 上连续，则积分上限函数 \（ \varphi（x） = \int_{a}^{x} f（t） \, dt \） 在区间 \（ [a,b] \） 上具有导数，且 \（ \varphi'（x） = f（x） \）。

积分极限定理 ：

包括有界收敛定理、Fatou 引理、单调收敛定理和受控收敛定理。

这些定理构成了定积分理论的基础，并在微积分学及其在自然科学和工程学中的应用中起着核心作用。