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• hengyangshifanxueyuannayu 天下五岳，独秀南岳；南岳学院，寿岳比邻。 2026-10-05 23:56:58

  arctanx的导数是1/1+x²，设y=arctanx,则x=tany，因为arctanx′=1／tany′，且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y，则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

  arctanx（即Arctangent）指反正切函数。反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）。

  反正切函数arctanx的导数

  (arctanx)'=1/(1+x^2)

  函数y=tanx,（x不等于kπ+π/2,k∈Z）的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为（-π/2,π/2）。反正切函数是反三角函数的一种。

  反正切函数arctanx的求导过程

  设y=arctanx

  则x=tany

  因为arctanx′=1／tany′

  且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

  则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

  所以arctanx的导数是1/1+x²。

  其他常用公式

  (arcsinx)'=1/√(1-x^2)

  (arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)

  三角函数求导公式

  (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

  (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

  (arctanx)'=1/(1+x^2)

  (arccotx)'=-1/(1+x^2)

  (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

  (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

  反函数求导法则

  如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

  [f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  [f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

  例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

  解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

  因此，由公式得

  (arcsinx)′=1(siny)′

  (arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

  =1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

  =1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2