等差数列的公式推导如下：

公差公式

公差 $d$ 表示相邻两项之间的差值，计算公式为：

$$

d = a_2 - a_1

$$

其中 $a_1$ 表示第一个数，$a_2$ 表示第二个数。

第 $n$ 项公式

第 $n$ 项 $a_n$ 表示等差数列中的任意一项，计算公式为：

$$

a_n = a_1 + (n-1)d

$$

其中 $a_1$ 表示第一项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。

前 $n$ 项和公式

前 $n$ 项和 $S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，计算公式为：

$$

S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n)

$$

其中 $a_1$ 表示第一项，$a_n$ 表示第 $n$ 项，$n$ 表示项数。

另一种前 $n$ 项和的公式为：

$$

S_n = frac{n}{2} times [2a_1 + (n-1)d]

$$

其中 $a_1$ 表示第一项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。

项数公式

项数 $n$ 可以通过已知的首项 $a_1$、末项 $a_n$ 和公差 $d$ 计算得到：

$$

n = frac{a_n - a_1}{d} + 1

$$

其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示第一项，$d$ 表示公差。

中项公式

若数列有中项 $a_m$，则中项的计算公式为：

$$

a_m = a_1 + (m-1)d

$$

当 $m$ 为奇数时，$a_m$ 为中项；当 $m$ 为偶数时，$a_m$ 为中间两项的平均值。

这些公式是等差数列的基本性质，通过这些公式可以方便地计算等差数列的各项和项数。