等比数列的求和公式如下：

当公比 q = 1 时

等比数列实际上是一个常数列，每一项都等于首项 （ a_1 ）。

因此，前 n 项和 （ S_n = n times a_1 ）。

当公比 q ≠ 1 时

等比数列的前 n 项和 （ S_n ） 可以用以下公式计算：

[

S_n = a_1 frac{1 - q^n}{1 - q}

]

公式推导

设等比数列的首项为 （ a_1 ），公比为 （ q ），前 n 项和为 （ S_n ）。

等比数列的前 n 项可以表示为：

[

a_1, a_1q, a_1q^2, ldots, a_1q^{n-1}

]

将这些项相加得到：

[

S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ldots + a_1q^{n-1}

]

将等式两边同时乘以公比 q：

[

qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ldots + a_1q^n

]

然后用第二个等式减去第一个等式：

[

qS_n - S_n = a_1q^n - a_1

]

[

（q - 1）S_n = a_1（q^n - 1）

]

解出 （ S_n ）：

[

S_n = frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q}

]

示例

假设有一个等比数列，首项 （ a_1 = 2 ），公比 （ q = 3 ），求前 5 项和：

使用公式 （ S_n = a_1 frac{1 - q^n}{1 - q} ）：

[

S_5 = 2 frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 frac{1 - 243}{-2} = 2 frac{-242}{-2} = 242

]