合比定理和分比定理是初中数学中关于比例的重要定理。下面是它们的推导过程：

合比定理的推导

设比例 （a:b = x:y），且 （y neq 0），则有：

[ frac{a}{x} = frac{b}{y} ]

将等式两边相加，得到：

[ frac{a}{x} + frac{b}{y} = frac{ay + bx}{xy} ]

因此，比例 （a:b:x:y = ay + bx : xy） 即为合比定理。

分比定理的推导

设比例 （a:b = x:y），且 （y neq 0），则有：

[ frac{a}{x} = frac{b}{y} ]

将等式两边分别除以 （x），得到：

[ frac{frac{a}{x}}{frac{b}{x}} = frac{frac{b}{y}}{frac{a}{y}} ]

化简得：

[ frac{a}{b} = frac{x}{y} ]

即 （a:b = x:y = （a + b）:（b + y） ） 即为分比定理。

更比定理的推导

如果 （a:b = c:d），那么：

[ frac{a}{c} = frac{b}{d} ]

这是更比定理的直接表述。

合分比定理的推导

如果 （a:b = c:d），那么：

[ frac{a + b}{b} = frac{c + d}{d} ]

这是合分比定理的直接表述。

平行线分段成比例定理的推导

如果一条直线与两条平行线相交，那么它们所分割的两条平行线上的对应线段之间的比值相等。即：

[ frac{AC}{BD} = frac{AE}{BF} ]

这是平行线分段成比例定理的直接表述。

以上推导展示了比例定理的基本形式及其推导过程。这些定理在解决与比例相关的问题时非常有用。