证明函数单调性主要有以下几种方法：

定义法

任取 `x1`, `x2` 属于函数的定义域，且 `x1 < x2`。

计算 `f（x1） - f（x2）` 并化简至最简形式。

判断 `f（x1） - f（x2）` 的符号。

如果 `f（x1） - f（x2） < 0`，则函数在该区间内单调递增；如果 `f（x1） - f（x2） > 0`，则函数在该区间内单调递减。

导数法

对函数求导得到导函数 `f'（x）`。

判断导函数 `f'（x）` 在给定区间上的符号。

如果 `f'（x） > 0`，则函数在该区间内单调递增；如果 `f'（x） < 0`，则函数在该区间内单调递减。

图象观察法

观察函数图像在指定区间上的走势。

如果图像从左至右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像从左至右下降，则函数在该区间内单调递减。

复合函数法

对于复合函数 `f[g（x）]`，根据外函数 `f（u）` 和内函数 `g（x）` 的单调性判断复合函数的单调性。

如果 `f` 是增函数且 `g` 也是增函数，则 `f[g（x）]` 是增函数；如果 `f` 是减函数且 `g` 是增函数，则 `f[g（x）]` 是减函数。

性质法

利用已知的函数性质，如两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数等。

选择合适的方法取决于函数的性质和所给条件。在实际操作中，可能需要结合多种方法来证明函数的单调性