arctanx的导数：y=arctanx，x=tany，dx/dy=sec2y=tan2y+1，dy/dx=1/【dx/dy】=1/【tan2y+1】=1/【1+x2】。

证明过程

三角函数求导公式

【arcsinx】'=1/【1-x^2】^1/2

【arccosx】'=-1/【1-x^2】^1/2

【arctanx】'=1/【1+x^2】

【arccotx】'=-1/【1+x^2】

【arcsecx】'=1/【|x|【x^2-1】^1/2】

【arccscx】'=-1/【|x|【x^2-1】^1/2】

反函数求导法则

假如函数x=f【y】x=f【y】在区间IyIy内单调、可导且f′【y】≠0f′【y】≠0，那么它的反函数y=f?1【x】y=f?1【x】在区间Ix={x|x=f【y】，y∈Iy}Ix={x|x=f【y】，y∈Iy}内也可导，且

[f?1【x】]′=1f′【y】或dydx=1dxdy

[f?1【x】]′=1f′【y】或dydx=1dxdy

这个结论能够简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：设x=siny，y∈[?π2,π2]x=sin?y，y∈[?π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin?x是它的反函数，求反函数的导数.

解：函数x=sinyx=sin?y在区间内单调可导，f′【y】=cosy≠0f′【y】=cos?y≠0

所以，由公式得

【arcsinx】′=1【siny】′

【arcsin?x】′=1【sin?y】′

=1cosy=11?sin2y √=11?x2 ?√

=1cos?y=11?sin2?y=11?x2