多项式带余除法是一种算法，用于将一个多项式（被除式）除以另一个多项式（除式），得到一个商式和一个余式。以下是进行多项式带余除法的步骤：

准备阶段

将被除式和除式按照某个字母（通常是变量x）的降幂排列，如果缺少某次幂的项，则用零补齐。

开始除法

用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。

将商式的第一项乘以除式，将结果写在被除式下面，与被除式相减，消去相等的项。

迭代过程

将上一步得到的差作为新的被除式，重复步骤2，直到余式的次数低于除式的次数，或者余式为零。

结果

商式是除法过程中得到的完整多项式部分。

余式是除法完成后剩下的部分，它的次数必须小于除式的次数。

示例

假设我们要计算多项式 （ P（x） = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ） 除以多项式 （ Q（x） = x^2 + x + 1 ）。

准备阶段

被除式：（ P（x） = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ）

除式：（ Q（x） = x^2 + x + 1 ）

补齐缺失项后：

被除式：（ x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ）

除式：（ x^2 + x + 1 ）

开始除法

第一项除法：（ x^3 div x^2 = x ）

商的第一项：（ x ）

乘法与减法：（ x cdot （x^2 + x + 1） = x^3 + x^2 + x ）

（ x^3 + 2x^2 + 3x + 4 - （x^3 + x^2 + x） = x^2 + 2x + 4 ）

迭代过程

第二项除法：（ x^2 div x^2 = 1 ）

商的第二项：（ 1 ）

乘法与减法：（ 1 cdot （x^2 + x + 1） = x^2 + x + 1 ）

（ x^2 + 2x + 4 - （x^2 + x + 1） = x + 3 ）

迭代过程（续）：

第三项除法：（ x div x = 1 ）

商的第三项：（ 1 ）

乘法与减法：（ 1 cdot （x^2 + x + 1） = x^2 + x + 1 ）

（ x + 3 - （x^2 + x + 1） = -x^2 + 2 ）

迭代过程（续）：

第四项除法：（ -x^2 div x^2 = -1 ）

商的第四项：（ -1 ）

乘法与减法：（ -1 cdot （x^2 + x + 1） = -x^2 - x - 1 ）

（ -x^2 + 2 - （-x^2 - x - 1） = x + 3 ）

迭代过程（续）：

第五项除法：（ x div x = 1 ）

商的第五项：（ 1 ）

乘法与减法：（ 1 cdot （x^2 + x + 1） = x^2 + x + 1 ）

（ x + 3 - （x^2 + x + 1） = -x^2 + 2 ）

迭代过程（续）：

第六项除法：（ -x^2 div x^2 = -1 ）

商的第六项：（ -1 ）

乘法与减法：（ -1 cdot （x^2 + x + 1） = -x^2 - x - 1 ）

（ -x^2 +