二维随机变量期望的计算

@(概率论)

设随机向量(X,Y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y) = f(-x,y),且ρxyρxy存在，则ρxy= ρxy=

分析：主要从EXY, EX,EY的关系求解。

因为根据定义：ρxy=cov(X,Y)DX√DX√ρxy=cov(X,Y)DXDX

而cov(X,Y)=E(XY)−EXEYcov(X,Y)=E(XY)−EXEY

这些是最基础的特征。

再看EXYEXY的求法：EXY=∫+∞−∞∫+∞−∞xyf(x,y)dxdyEXY=∫−∞+∞∫−∞+∞xyf(x,y)dxdy

更值得注意的是，EX，EY的求法：

EX=∫+∞−∞∫+∞−∞xf(x,y)dxdyEX=∫−∞+∞∫−∞+∞xf(x,y)dxdy

也将x看成是g(X,Y)，对Z = g(X,Y)求期望，自然是统一的二次积分。

所以，

EXY=∫+∞−∞∫+∞−∞xyf(x,y)dxdy=∫+∞−∞ydy∫+∞−∞xf(x,y)dx=∫+∞−∞ydy∫−∞+∞−tf(−t,y)d(−t)[令x=−t]=∫+∞−∞ydy∫−∞+∞tf(t,y)dt=0[因为左右相反却相等]

EXY=∫−∞+∞∫−∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫−∞+∞ydy∫−∞+∞xf(x,y)dx=∫−∞+∞ydy∫+∞−∞−tf(−t,y)d(−t)[令x=−t]=∫−∞+∞ydy∫+∞−∞tf(t,y)dt=0[因为左右相反却相等]

同理，EX= 0也是一样的原因，所以EXY = EXEY = 0,所以相关系数为0。