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一个全是 1 的 $n
imes n$ 矩阵可以表示为 $A=
mathbf{1}
mathbf{1}^
mathrm{T}$，其中 $
mathbf{1}$ 是一个 $n$ 维全为 1 的列向量。
根据矩阵的定义和性质，可以得到矩阵 $A$ 的特征值和特征向量：
$$
begin{aligned} A
mathbf{v} &=
lambda
mathbf{v}
(
mathbf{1}
mathbf{1}^
mathrm{T})
mathbf{v} &=
lambda
mathbf{v}
mathbf{1}(
mathbf{1}^
mathrm{T}
mathbf{v}) &=
lambda
mathbf{v}
mathbf{1}
cdot (
mathbf{1}^
mathrm{T}
mathbf{v}) &=
lambda
n (
mathbf{1}^
mathrm{T}
mathbf{v}) &=
lambda
end{aligned} $$
因此，$A$ 的特征值是 $n$，对应的特征向量是 $
mathbf{1}$。
答其他回答（1条）
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henashifandaxue
2026-10-06 02:48:36
n阶矩阵A中的所有元素都是1,则其秩为：r(A)=1
所以,其必有n-1个特征值为0.
而根据特征多项式(对于任意的矩阵）
f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+…+ann）λ^(n-1)+…
由此可得：
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+…+ann
考虑A矩阵
a11+a22+a33+…+ann=a1b1+a2b2+...+anbn
A中的所有元素都是1
a1b1+a2b2+...*anbn
而λ1,λ2,...λn-1=0
则可知有λn=n。
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本文概览：一个全是 1 的 $n imes n$ 矩阵可以表示为 $A=mathbf{1}mathbf{1}^mathrm{T}$，其中 $mathbf{1}$ 是一个 $n$ 维全为 1 的列向量。根据矩阵的定义和性质，可以得到矩阵 $A$ 的特征值和特征向量：$$ begin{aligned} Amathbf{v} &= lambdamathbf{v} (mathbf{1}mathbf{1}^mathrm{T})mathbf{v} &= lambdamathbf{v} mathbf{1}(m