向量的叉乘（也称为向量积或外积）可以通过行列式来计算。给定两个向量

(

mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)

) 和

(

mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)

)，它们的叉乘

(

mathbf{a}

imes

mathbf{b}

) 可以通过以下行列式计算：

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} =

begin{vmatrix}

mathbf{i} &

mathbf{j} &

mathbf{k}

a_1 & a_2 & a_3

b_1 & b_2 & b_3

end{vmatrix}

]

其中

(

mathbf{i}

),

(

mathbf{j}

),

(

mathbf{k}

) 是空间中的单位向量，分别表示 x、y 和 z 轴。

对于给定的向量

(

mathbf{a} =

begin{bmatrix} 1

2

3

end{bmatrix}

) 和

(

mathbf{b} =

begin{bmatrix} 4

5

6

end{bmatrix}

)，我们可以计算它们的叉乘：

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} =

begin{vmatrix}

mathbf{i} &

mathbf{j} &

mathbf{k}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

end{vmatrix}

]

展开行列式，我们得到：

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} =

mathbf{i}

begin{vmatrix} 2 & 3

5 & 6

end{vmatrix} -

mathbf{j}

begin{vmatrix} 1 & 3

4 & 6

end{vmatrix} +

mathbf{k}

begin{vmatrix} 1 & 2

4 & 5

end{vmatrix}

]

计算每个小行列式：

[

begin{vmatrix} 2 & 3

5 & 6

end{vmatrix} = (2

cdot 6) - (3

cdot 5) = 12 - 15 = -3

]

[

begin{vmatrix} 1 & 3

4 & 6

end{vmatrix} = (1

cdot 6) - (3

cdot 4) = 6 - 12 = -6

]

[

begin{vmatrix} 1 & 2

4 & 5

end{vmatrix} = (1

cdot 5) - (2

cdot 4) = 5 - 8 = -3

]

将这些结果代入叉乘的行列式中，我们得到：

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} =

mathbf{i} (-3) -

mathbf{j} (-6) +

mathbf{k} (-3)

]

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} = -3

mathbf{i} + 6

mathbf{j} - 3

mathbf{k}

]

因此，向量

(

mathbf{a}

) 和

(

mathbf{b}

) 的叉乘是：

[

mathbf{a}

imes

mathbf{b} =

begin{bmatrix} -3

6

-3

end{bmatrix}

]

这就是通过行列式计算向量叉乘的方法。