数学专业博士的学习内容非常广泛且深入，主要包括以下几个领域：

基础数学

离散数学：研究离散结构和有限集合的理论。

经典数学：包括算术、初等代数、高等代数、数论等基础数学知识。

近代数学：涵盖解析几何、微分几何、代数几何、射影几何学、几何拓扑学、拓扑学、分形几何等。

微积分学：研究函数的极限、导数和积分等。

实变函数论与复变函数论：研究实数和复数域上的函数理论。

泛函分析：研究函数空间上的算子和函数理论。

逻辑和数理逻辑：研究形式逻辑和证明理论。

应用数学

概率论与统计学：研究随机现象的规律性和不确定性。

数值分析：研究如何用计算机求解数学问题，尤其是不能用解析方法解决的问题。

优化理论：研究如何找到最优解或近似最优解。

控制理论：研究如何设计控制器以实现对系统的稳定和优化控制。

经济数学：将数学方法应用于经济领域。

工程数学：应用数学方法解决工程中的实际问题。

计算数学

结合数学与其他学科解决计算问题。

算法和计算技术的研究。

其他交叉学科

运筹学与控制论：研究数学在系统优化和控制理论中的应用。

突变理论：研究系统在特定条件下突然改变行为的理论。

数理物理学：将数学应用于物理学领域。

生物数学：将数学应用于生物学领域。

数学博士的学习内容不仅涵盖传统的数学领域，还包括了计算机科学、物理学、经济学等多个学科的交叉知识。具体的学习内容可以根据个人的兴趣和研究方向进行选择和深化。建议在选择数学博士研究方向时，充分考虑自己的兴趣和职业规划，以便在未来的科研和工作中取得更大的成就。