求函数的极值主要有以下几种方法：

导数法

步骤：

1. 计算函数的导数。

2. 找到导数为零或不存在的点，这些点被称为临界点。

3. 通过判断临界点的导数符号变化来确定极值类型。如果导数从正变为负，那么该点是极大值点；如果导数从负变为正，那么该点是极小值点。在临界点之外，还需要考虑函数的定义域的边界点。

二阶导数法

步骤：

1. 计算函数的一阶和二阶导数。

2. 找到使得一阶导数为零或不存在的点，这些点同样被称为临界点。

3. 通过二阶导数的符号来确定极值类型。如果二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是极大值点。如果二阶导数在极值点处等于零，则该点可能是函数的拐点，需要进行进一步分析。

完备平方法

步骤：

1. 将函数表示为完备平方形式。

2. 通过平方完成或配方等技巧，将函数转化为完备平方形式后，可以直接读出函数的极值点。

配方法

步骤：

1. 将函数通过配方转化为完全平方的形式。

2. 完全平方形式可以直接给出极值点。

示例

假设有一个函数 （ f（x） = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 ），我们可以按照以下步骤求其极值：

求导数

[

f'（x） = 3x^2 - 6x - 9

]

求导数为零的点

[

3x^2 - 6x - 9 = 0

]

解这个方程得到：

[

x^2 - 2x - 3 = 0

]

[

（x - 3）（x + 1） = 0

]

所以，临界点为 （ x = 3 ） 和 （ x = -1 ）。

判断极值类型

当 （ x = -1 ） 时，代入原函数：

[

f（-1） = （-1）^3 - 3（-1）^2 - 9（-1） + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10

]

当 （ x = 3 ） 时，代入原函数：

[

f（3） = 3^3 - 3 cdot 3^2 - 9 cdot 3 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22

]

因此， （ x = -1 ） 处取得极大值 10，（ x = 3 ） 处取得极小值 -22。

建议

选择合适的方法：根据函数的形式选择合适的方法，例如对于简单的多项式函数，导数法通常是最直接有效的。

检查边界点：确保考虑函数的定义域边界点，因为极值可能出现在边界上。

二阶导数测试：对于复杂函数，使用二阶导数测试可以更准确地确定极值类型。