专升本数学中计算极值的方法主要分为以下步骤：

求导数

首先，需要求出函数的一阶导数 （ f'（x） ）。

求导数为零的点

解方程 （ f'（x） = 0 ） 得到可能的极值点。这些点称为驻点。

判断极值类型

对于每一个驻点，需要检查其左右两侧导数的符号变化情况：

如果左侧导数为正，右侧导数为负，则该驻点是极大值点。

如果左侧导数为负，右侧导数为正，则该驻点是极小值点。

如果导数在该点处无意义（例如函数在该点不连续或导数未定义），则需要单独讨论。

求二阶导数

对于可能的极值点，需要求出函数的二阶导数 （ f''（x） ）。

利用二阶导数判断

如果 （ f''（x） > 0 ），则该驻点是极小值点。

如果 （ f''（x） < 0 ），则该驻点是极大值点。

如果 （ f''（x） = 0 ），则二阶导数无法判断，需要使用其他方法（例如泰勒展开）进一步确定。

讨论间断点

除了驻点外，还需要讨论函数在定义域内的间断点，因为这些点也可能是极值点。

示例

假设有一个函数 （ f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x ），我们按照上述步骤计算其极值：

求一阶导数

[ f'（x） = 3x^2 - 6x + 2 ]

求导数为零的点

[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 ]

解得：

[ x = 1 pm frac{sqrt{3}}{3} ]

判断极值类型

对于 （ x = 1 + frac{sqrt{3}}{3} ）：

左侧导数：（ f'（1 - frac{sqrt{3}}{3}） = 3（1 - frac{sqrt{3}}{3}）^2 - 6（1 - frac{sqrt{3}}{3}） + 2 > 0 ）

右侧导数：（ f'（1 + frac{sqrt{3}}{3}） = 3（1 + frac{sqrt{3}}{3}）^2 - 6（1 + frac{sqrt{3}}{3}） + 2 < 0 ）

因此，该点为极大值点。

对于 （ x = 1 - frac{sqrt{3}}{3} ）：

左侧导数：（ f'（1 + frac{sqrt{3}}{3}） = 3（1 + frac{sqrt{3}}{3}）^2 - 6（1 + frac{sqrt{3}}{3}） + 2 < 0 ）

右侧导数：（ f'（1 - frac{sqrt{3}}{3}） = 3（1 - frac{sqrt{3}}{3}）^2 - 6（1 - frac{sqrt{3}}{3}） + 2 > 0 ）

因此，该点为极小值点。

求二阶导数

[ f''（x） = 6x - 6 ]

利用二阶导数判断

对于 （ x = 1 + frac{sqrt{3}}{3} ）：

（ f''（1 + frac{sqrt{3}}{3}） = 6（1 + frac{sqrt{3}}{3}） - 6 = 6sqrt{3} > 0 ）

因此，该点为极小值点。

对于 （ x = 1 - frac{sqrt{3}}{3} ）：

（ f''（1 - frac{sqrt{3}}{3}） = 6（1 - frac{sqrt{3}}{3}） - 6 = -6sqrt{3} < 0 ）

因此，该点为极大值点。

通过以上步骤，我们找到了函数 （ f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x ） 的极大值点和极小值点，并