数学系博士的研究方向非常广泛，主要包括但不限于以下几个领域：

纯数学

代数几何：研究高维空间中点、线和曲线的性质及其相互关系。

拓扑学：研究空间的形状和结构，如连通性、紧致性和同胚等。

微分几何：研究曲线、曲面和更高维度空间上点的性质及其相互关系。

数论：研究整数和整数的性质。

泛函分析：研究函数空间上的算子和函数理论。

逻辑和数理逻辑：研究形式逻辑和证明理论。

应用数学

概率论与统计学：研究随机现象的规律性和不确定性。

数值分析：研究如何用计算机求解数学问题，尤其是不能用解析方法解决的问题。

优化理论：研究如何找到最优解或近似最优解。

控制理论：研究如何设计控制器以实现对系统的稳定和优化控制。

金融数学：运用数学和概率统计理论研究金融资产定价、金融风险管理、金融市场和精算等问题。

其他交叉学科

计算机科学：算法、计算机图形学、计算流体动力学、量子计算等。

物理学：理论物理、量子力学、统计物理等。

工程学：航空航天、机器人技术、自动驾驶等。

经济学：经济数学、博弈论、决策理论等。

数学博士的学习内容通常包括离散数学、模糊数学、经典数学、近代数学、计算机数学、随机数学、经济数学、算术、初等代数、高等代数、数论、欧几里得几何、非欧几里得几何、解析几何、微分几何、代数几何、射影几何学、几何拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和统计学、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程等。

博士研究通常要求学生具备较强的原创性研究能力，能够解决复杂的数学问题，并在其研究领域内取得一定的学术成就。