可逆线性替换，也称为非退化线性替换，是指在线性代数中，一个线性变换可以通过一个可逆矩阵C，将一个向量空间中的向量X变换为另一个向量Y，同时存在矩阵C的逆矩阵C^{-1}，可以将向量Y变换回原来的向量X。这种变换的特点是变换前后向量空间的维度保持不变，即变换前后行数和列数相同，这是因为可逆矩阵C的秩（rank）是满的，也就是说C是可逆的。
可逆线性替换在二次型的研究中尤其重要，因为它可以将二次型转化为更简单的标准型，同时保持其原有的性质不变。例如，如果有一个二次型 f = X^T A X，其中A是一个对称矩阵，那么可以通过一个可逆矩阵C进行线性替换 X = CY，将二次型转化为 g = Y^T B Y 的形式，其中B = C^T A C。
需要注意的是，可逆线性替换与正交变换是不同的概念，尽管在某些情况下它们可能看起来相似。正交变换是保持内积不变的线性变换，而可逆线性替换则不要求内积不变。
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本文概览：可逆线性替换，也称为非退化线性替换，是指在线性代数中，一个线性变换可以通过一个可逆矩阵C，将一个向量空间中的向量X变换为另一个向量Y，同时存在矩阵C的逆矩阵C^{-1}，可以将向量Y变换回原来的向量X。这种变换的特点是变换前后向量空间的维度