级数 （sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n ln n} ） 发散的原因可以通过以下步骤来理解：

收敛级数条件

一个级数 （sum_{n=1}^{infty} a_n ） 收敛的充分必要条件是当 （n to infty） 时，（a_n to 0）。

通项极限

对于级数 （sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n ln n} ），我们需要考察通项 （a_n = frac{1}{n ln n}） 当 （n to infty） 时的极限。

极限不存在

我们可以看到，当 （n to infty） 时，（ln n to infty），但 （frac{1}{ln n} to 0）。然而，由于 （n ln n to infty） 的速度比 （ln n） 快，通项 （frac{1}{n ln n}） 趋于0的速度不足以使级数收敛。

比较判别法

我们可以使用比较判别法。考虑积分 （int_{2}^{infty} frac{dx}{x ln x}），这个积分是发散的。由于 （frac{1}{n ln n} geq frac{1}{x ln x}） 对于所有 （x geq 2） 和足够大的 （n），根据比较判别法，级数 （sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n ln n} ） 也是发散的。

其他证明方法

中世纪数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的，他的证明方法简单直观，通过观察级数的部分和的增长趋势得出结论。

综上所述，级数 （sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n ln n} ） 发散是因为其通项的极限不存在，并且通过比较判别法可以得出该结论