级数 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 被认为是发散的，原因在于其级数项 （ frac{1}{n} ） 不趋于零。根据级数收敛的必要条件，如果一个级数收敛，那么它的级数项必须趋于零。在这个例子中，随着 （ n ） 趋向于无穷大，（ frac{1}{n} ） 变得非常小，并趋向于零。然而，尽管 （ frac{1}{n} ） 趋于零，它从未实际达到零，也就是说，它不会趋于零的速度足够快，以满足级数收敛的要求。

更正式地说，对于级数 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ），我们希望证明它发散，可以采用比较判别法。考虑调和级数 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ），我们知道这个级数是发散的。由于 （ frac{1}{n} ） 对于所有的 （ n ） 都是正的，并且 （ frac{1}{n} leq frac{1}{n} ） 对于所有的 （ n ），我们可以得出 （ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ） 发散，因为它大于一个已知的发散级数。

需要注意的是，尽管 （ frac{1}{n} ） 单独看是趋于零的，但当它被组合成级数时，由于它不会以足够快的速度趋于零，所以构成的级数是发散的