二重积分的求导可以通过使用莱布尼茨积分规则来完成。莱布尼茨积分规则适用于对含有变限积分的函数求导。具体来说，如果有一个二重积分：

$$I = int_{a（x）}^{b（x）} int_{c（y）}^{d（y）} f（x,y） , dx , dy$$

那么，对变量 $x$ 求导的结果是：

$$I'（x） = int_{c（b（x））}^{d（b（x））} f（x,b（x）） cdot b'（x） , dy + int_{a（x）}^{d（x）} f（a（x）,y） cdot a'（x） , dy - int_{a（x）}^{b（x）} f（x,d（x）） cdot d'（x） , dy$$

如果积分上下限是 $x$ 的函数，则公式会进一步变化，但原理是相同的。

对于你给出的例子，我们可以应用这个规则：

$$I = int_{0}^{x} left（ int_{0}^{y^2} frac{sin t}{1+t^2} , dt right） dy$$

首先，对外层积分求导，使用莱布尼茨规则，我们得到：

$$I'（x） = int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1+t^2} , dt$$

然后，对 $x^2$ 求导，得到：

$$I''（x） = frac{d}{dx} left（ int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1+t^2} , dt right） = 2x cdot frac{sin（x^2）}{1+x^4}$$

这里，我们使用了链式法则和基本的微积分定理。

请注意，这个规则适用于对积分上限或下限为变量的积分求导，并且积分内部与积分变量无关。如果积分内部与积分变量有关，那么求导过程会更加复杂，可能需要使用更高级的数学工具，如变分法或微分形式。