指数分布的随机变量X和Y是独立的，如果它们的发生率分别为λ1和λ2，那么X-Y的概率密度函数（PDF）可以通过以下步骤求得：

计算差的绝对值的累积分布函数（CDF）

由于X和Y是独立的，我们可以分别计算它们的CDF，然后利用独立性得到X-Y的CDF。

对于X，其CDF为：

$$F_X（a） = 1 - e^{-lambda_1 a}, quad a geq 0$$

对于Y，其CDF为：

$$F_Y（b） = 1 - e^{-lambda_2 b}, quad b geq 0$$

X-Y的CDF为：

$$F_{X-Y}（a） = P（X-Y leq a） = P（X leq a, Y geq -a） = F_X（a）F_Y（-a） = （1 - e^{-lambda_1 a}）（1 - e^{lambda_2 a}）$$

计算差的绝对值的概率密度函数（PDF）

对CDF求导，得到X-Y的PDF：

$$f_{X-Y}（a） = frac{d}{da}F_{X-Y}（a） = frac{d}{da}[（1 - e^{-lambda_1 a}）（1 - e^{lambda_2 a}）]$$

$$= lambda_1 e^{-lambda_1 a} - lambda_2 e^{lambda_2 a}, quad a geq 0$$

计算期望值

对于X-Y的PDF，其期望值为：

$$E[X-Y] = int_0^infty a f_{X-Y}（a） da$$

$$= int_0^infty a （lambda_1 e^{-lambda_1 a} - lambda_2 e^{lambda_2 a}） da$$

$$= frac{1}{lambda_1} - frac{1}{lambda_2}$$

如果计算出的期望值符合理论预期，那么我们可以认为X和Y是独立的指数分布随机变量