二元洛必达法则的推导基于单变量洛必达法则，并将其扩展到两个变量的情况。下面是二元洛必达法则的推导过程：

条件设定

设函数$f（x, y）$和$g（x, y）$在点$（a, b）$的某去心邻域内有定义。

当$（x, y） to （a, b）$时，$lim f（x, y） = 0$，$lim g（x, y） = 0$。

在该去心邻域内，$f（x, y）$和$g（x, y）$都可微，且$g（x, y） neq 0$。

当$（x, y） to （a, b）$时，极限$lim frac{f_x'（x, y）}{g_x'（x, y）}$存在或为无穷大，其中$f_x'$和$g_x'$分别表示$f$和$g$对$x$的偏导数。

应用单变量洛必达法则

考虑函数$f（a+x, b+y）$和$g（a+x, b+y）$，当$x to 0$，$y to 0$时，根据单变量洛必达法则，有：

$$

lim_{（x, y） to （0, 0）} frac{f（a+x, b+y） - f（a, b）}{x} = lim_{（x, y） to （0, 0）} frac{g（a+x, b+y） - g（a, b）}{x}

$$

这是因为当$（x, y） to （0, 0）$时，$f（a+x, b+y） to f（a, b）$和$g（a+x, b+y） to g（a, b）$。

对偏导数应用洛必达法则

对上面的等式两边关于$x$求导，得到：

$$

lim_{x to 0} frac{f_x'（a+x, b+y） cdot 1 - f_x'（a, b+y） cdot 0}{1} = lim_{x to 0} frac{g_x'（a+x, b+y） cdot 1 - g_x'（a, b+y） cdot 0}{1}

$$

简化后得到：

$$

lim_{x to 0} f_x'（a+x, b+y） = lim_{x to 0} g_x'（a+x, b+y）

$$

结论

因此，我们可以得出结论，当满足上述条件时，二元函数的极限可以通过对函数分别求偏导数后再求极限来确定：

$$

lim_{（x, y） to （a, b）} frac{f（x, y）}{g（x, y）} = lim_{（x, y） to （a, b）} frac{f_x'（x, y）}{g_x'（x, y）}

$$

这就是二元洛必达法则的推导过程