导数零点定理通常指的是罗尔定理（Rolle's Theorem），它表明如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间（a, b）内可导，并且f（a） = f（b），那么至少存在一点c∈（a, b），使得f'（c） = 0。下面是罗尔定理的证明：

罗尔定理证明

证明：

连续性：

由于f（x）在闭区间[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f（x）在[a, b]上有最大值M和最小值m。

可导性：

由于f（x）在开区间（a, b）内可导，根据可导必连续的性质，f'（x）在（a, b）内存在。

端点值相等：

根据题目条件，f（a） = f（b）。

最大最小值性质：

由于f（x）在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f（x）在[a, b]上一定能取到最大值和最小值。如果最大值或最小值在区间内部取得，则由极限定理知f'（c） = 0，其中c为内部极值点。如果最大值和最小值都在端点处取得，则f（x）在（a, b）上为常数函数，故对任意c∈（a, b），有f'（c） = 0。

结论

综上所述，根据罗尔定理，存在至少一点c∈（a, b），使得f'（c） = 0。

注意

罗尔定理是微分学中的基本定理，它有许多应用，比如在证明中值定理等其他定理时经常会用到。

在使用罗尔定理时，必须确保函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且端点函数值相等。