要证明一个多元函数在某一点可微，通常需要证明该函数在该点的偏导数存在且连续。以下是证明连续可偏导的步骤：

证明偏导数存在

使用定义求出函数对各个变量的偏导数。

对于二元函数 （ f（x, y） ），在点 （（x_0, y_0）） 处，关于 （ x ） 的偏导数定义为：

[

frac{partial f}{partial x}bigg|_{（x_0, y_0）} = lim_{h to 0} frac{f（x_0 + h, y_0） - f（x_0, y_0）}{h}

]

关于 （ y ） 的偏导数定义为：

[

frac{partial f}{partial y}bigg|_{（x_0, y_0）} = lim_{k to 0} frac{f（x_0, y_0 + k） - f（x_0, y_0）}{k}

]

证明偏导数连续

对于点 （（x_0, y_0）） 的某个邻域内的任意一点 （（x, y）），考察函数的全增量 （Delta z = f（x, y） - f（x_0, y_0））。

应用拉格朗日中值定理，可以得到：

[

Delta z = A（x, y） Delta x + B（x, y） Delta y

]

其中 （ A（x, y） = frac{partial f}{partial x}big|_{（x, y）} ） 和 （ B（x, y） = frac{partial f}{partial y}big|_{（x, y）} ）。

因为偏导数存在，所以当 （（x, y） to （x_0, y_0）） 时，（ A（x, y） to A（x_0, y_0）） 和 （ B（x, y） to B（x_0, y_0））。

这意味着 （Delta z） 可以表示为 （alpha Delta x + beta Delta y），其中 （alpha = A（x_0, y_0）） 和 （beta = B（x_0, y_0））。

当 （Delta x to 0） 和 （Delta y to 0） 时，（Delta z to 0），即函数在 （（x_0, y_0）） 处可微。

证明函数连续

如果函数在某点可微，那么它在该点一定连续。

连续性可以通过考察函数趋于该点的极限是否等于函数在该点的值来证明。

以上步骤基于偏导数和可微性的定义，以及拉格朗日中值定理。需要注意的是，可微性意味着函数在该点的变化可以用线性映射来近似，而连续性则是函数在该点的局部行为是“连续”的。