在二重积分中，判断积分的对称性主要依据积分区域和被积函数的对称性。以下是判断对称性的几个关键步骤和结论：

奇偶性对称

如果函数$f（x,y）$关于原点对称，即$f（-x,-y） = f（x,y）$，则整个平面区域$D$上的二重积分等于在$D$的$x geq 0, y geq 0$部分上积分的4倍。

如果函数关于x轴对称，即$f（-x,y） = f（x,y）$，则整个平面区域$D$上的二重积分等于在$D$的$y geq 0$部分上积分的2倍。

如果函数关于y轴对称，即$f（x,-y） = f（x,y）$，则整个平面区域$D$上的二重积分等于在$D$的$x geq 0$部分上积分的2倍。

轮换对称性

如果函数$f（x,y）$满足$f（y,x） = f（x,y）$，则积分区域关于直线$y=x$对称时，在$D$上的二重积分等于在$D$关于直线$y=x$对称的区域$D'$上的二重积分。

关于坐标轴对称

如果积分区域关于x轴对称，且被积函数关于y为奇函数，则积分为零。

如果积分区域关于x轴对称，且被积函数关于y为偶函数，则积分等于$D$位于x轴右半部分积分的2倍。

关于坐标原点对称

如果积分区域关于坐标原点对称，且被积函数关于原点对称，则整个区域上的积分等于在$D$的$x geq 0, y geq 0$部分上积分的4倍。

关于直线对称

如果积分区域关于直线$y=x$对称，且被积函数关于$y=x$对称，则积分值不变。

如果积分区域关于直线$y=-x$对称，且被积函数关于$y=-x$对称，则积分值不变。

利用这些对称性，可以简化积分计算过程，有时甚至可以直接得出积分值为零。需要注意的是，这些结论依赖于积分区域和被积函数的具体对称性。