全导数和全微分是多元函数微积分中的重要概念。下面是它们的基本定义和计算方法：

全导数

全导数描述的是多元复合函数在某一点处，因变量随所有自变量变化的速率。对于复合函数 （ z = f（u, v） ），其中 （ u = a（t） ） 和 （ v = b（t） ），全导数可以表示为：

[ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial u} frac{du}{dt} + frac{partial z}{partial v} frac{dv}{dt} ]

这里， （frac{partial z}{partial u}） 和 （frac{partial z}{partial v}） 分别是函数 （ z ） 关于 （ u ） 和 （ v ） 的偏导数，（frac{du}{dt}） 和 （frac{dv}{dt}） 分别是 （ u ） 和 （ v ） 关于 （ t ） 的导数。

全微分

全微分描述的是多元函数在某一点附近因变量的线性近似变化。对于函数 （ z = f（x, y） ），全微分可以表示为：

[ dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy ]

这里， （frac{partial z}{partial x}） 和 （frac{partial z}{partial y}） 分别是函数 （ z ） 关于 （ x ） 和 （ y ） 的偏导数。

求法总结

确定复合关系 ：识别出哪些变量是外层函数，哪些是内层函数。

应用链式法则：

根据外层函数是否显含自变量，选择合适的链式法则（一一型、二一型或三一型）。

计算偏导数：

计算外层函数关于内层变量的偏导数。

计算导数：

将偏导数与内层变量的导数相乘，并求和得到全导数。

计算全微分：

将偏导数与自变量的增量相乘，并求和得到全微分。

例子

假设 （ z = f（x, y） = 3x^2 + 2xy - 5y^2 + 1 ），求 （frac{dz}{dx}） 和全微分：

计算偏导数

[ frac{partial z}{partial x} = 6x + 2y ]

[ frac{partial z}{partial y} = 2x - 10y ]

计算全微分

[ dz = （6x + 2y）dx + （2x - 10y）dy ]

计算全导数（假设 （ y ） 是常数，即 （frac{dy}{dx} = 0））：

[ frac{dz}{dx} = 6x + 2y ]

以上步骤展示了如何求多元函数的全导数和全微分。