要证明一个多元函数在某点可微，通常需要证明该函数在该点的偏导数存在且连续。以下是证明多元函数可微性的主要步骤：
偏导数存在：
首先，需要证明函数在指定点的偏导数存在。
偏导数连续：
其次，需要证明这些偏导数在该点的邻域内是连续的。
可微的定义：
根据可微的定义，如果函数的全增量可以表示为它的线性部分（由偏导数构成）加上一个高阶无穷小，则函数在该点可微。
具体来说，如果存在常数 （A） 和 （B），使得当 （Delta x to 0） 和 （Delta y to 0） 时，有
[
Delta y = f_x（x_0, y_0） Delta x + f_y（x_0, y_0） Delta y + o（rho）,
]
其中 （rho = sqrt{（Delta x）^2 + （Delta y）^2}），则称函数 （f（x, y）） 在点 （（x_0, y_0）） 可微，且其微分为 （df = f_x（x_0, y_0） Delta x + f_y（x_0, y_0） Delta y）。
需要注意的是，偏导数存在并不足以保证函数可微，偏导数需要连续才能保证可微性。
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本文概览：要证明一个多元函数在某点可微，通常需要证明该函数在该点的偏导数存在且连续。以下是证明多元函数可微性的主要步骤：首先，需要证明函数在指定点的偏导数存在。其次，需要证明这些偏导数在该点的邻域内是连续的。根据可微的定义，如果函数的全增量可以表示为