谢泼德引理（Shephard's Lemma）是微观经济学中一个重要的工具，用于推导需求函数。具体来说，谢泼德引理表明，如果给定一个支出函数 （ e（p, u） ），其中 （ p ） 是商品的价格向量，（ u ） 是消费者的效用水平，那么对 （ p ） 求偏导数可以得到补偿性需求函数 （ x_h（p, u） ）。数学表达式为：

[

frac{partial e}{partial p_i} = x_i（p, u）

]

其中，（ frac{partial e}{partial p_i} ） 表示总支出函数对第 （ i ） 种商品价格的偏导数，（ x_i（p, u） ） 是补偿性需求函数，表示在效用水平为 （ u ） 的情况下，消费者愿意为第 （ i ） 种商品支付的价格。

推导过程：

定义支出函数

支出函数 （ e（p, u） ） 表示消费者在价格和效用水平为 （ p ） 和 （ u ） 时的总支出。

求偏导数

对支出函数 （ e（p, u） ） 关于商品价格 （ p_i ） 求偏导数，可以得到：

[

frac{partial e}{partial p_i} = frac{partial}{partial p_i} left（ sum_{j=1}^n p_j x_j right）

]

这里，（ x_j ） 是消费者在第 （ j ） 种商品上的消费量。

应用乘积法则

应用乘积法则，对上式进行展开：

[

frac{partial e}{partial p_i} = sum_{j=1}^n x_j frac{partial p_j}{partial p_i} + sum_{j=1}^n p_j frac{partial x_j}{partial p_i}

]

由于 （ p_j ） 和 （ x_j ） 是相互独立的，所以 （ frac{partial p_j}{partial p_i} = 0 ）（除非 （ i = j ）），因此上式简化为：

[

frac{partial e}{partial p_i} = sum_{j=1}^n p_j frac{partial x_j}{partial p_i}

]

引入希克斯需求函数

根据希克斯需求函数的定义，补偿性需求函数 （ x_h（p, u） ） 是使总支出函数不变的价格和效用水平组合下的需求函数。因此，上式可以写成：

[

frac{partial e}{partial p_i} = x_h（p, u）

]

总结：

谢泼德引理通过将总支出函数对价格的偏导数与补偿性需求函数联系起来，为推导需求函数提供了一个简洁的方法。这个引理在微观经济学中广泛应用，特别是在研究消费者选择和市场均衡时。