要判断一个函数在某一点是否可导，可以按照以下步骤进行：

确定函数在该点的连续性

如果函数在某点连续，则可能在该点可导。

如果函数在某点不连续，则一定在该点不可导。

计算左导数和右导数

对于函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 的左导数 （ f'_-（x_0） ），考虑 （ x ） 从左侧趋近于 （ x_0 ） 时的极限：

[ lim_{x to x_0^-} frac{f（x） - f（x_0）}{x - x_0} ]

对于函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 的右导数 （ f'_+（x_0） ），考虑 （ x ） 从右侧趋近于 （ x_0 ） 时的极限：

[ lim_{x to x_0^+} frac{f（x） - f（x_0）}{x - x_0} ]

比较左右导数

如果左导数和右导数都存在且相等，即：

[ f'_-（x_0） = f'_+（x_0） ]

则函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 处可导。

如果左右导数不相等，则函数在该点不可导。

例题分析

考虑函数 （ y = f（x） = frac{x^2 - x - 2}{x^3 - x} ）。

确定连续性

函数在 （ x neq 0, pm 1 ） 时连续，因为分母不为零。

在 （ x = 0, pm 1 ） 处不连续，因为分母为零。

计算左导数和右导数

对于 （ x neq 0, pm 1 ），函数可导，可以直接使用求导法则计算导数。

在 （ x = 0 ） 和 （ x = pm 1 ） 处，需要单独考虑。

比较左右导数

在 （ x = 0 ） 处，由于函数不连续，不需要进一步计算导数，即可判断不可导。

在 （ x = pm 1 ） 处，由于函数在这一点不连续，同样不需要进一步计算导数，即可判断不可导。

结论

函数 （ y = frac{x^2 - x - 2}{x^3 - x} ） 在 （ x = 0, pm 1 ） 处不可导，因为这些点是函数的间断点。