已知概率密度函数 f（x），我们可以计算随机变量 X 的期望（数学期望）和方差。以下是计算公式：
期望（数学期望）
期望是随机变量 X 的加权平均值，其计算公式为：
E[X] = ∫x f（x） dx （从负无穷到正无穷）
其中，x 是随机变量 X 的取值，f（x） 是对应的概率密度函数。
方差
方差衡量随机变量 X 的取值与其期望值的偏离程度，其计算公式为：
Var[X] = E[X^2] - （E[X]）^2
其中，E[X^2] 是 X^2 的期望，计算公式为：
E[X^2] = ∫x^2 f（x） dx （从负无穷到正无穷）
因此，方差的计算可以表示为：
Var[X] = ∫x^2 f（x） dx - （∫x f（x） dx）^2
示例
假设我们有一个均匀分布的概率密度函数，在区间 [a, b] 上，其概率密度函数为：
f（x） = 1 / （b - a），a ≤ x ≤ b
f（x） = 0，其他情况
那么期望和方差可以计算为：
E[X] = （a + b） / 2
Var[X] = （b - a）^2 / 12
请注意，这些计算适用于连续型随机变量。对于离散型随机变量，期望和方差的计算方式会有所不同，需要将积分替换为求和。
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本文概览：已知概率密度函数 f（x），我们可以计算随机变量 X 的期望（数学期望）和方差。以下是计算公式： 期望（数学期望）期望是随机变量 X 的加权平均值，其计算公式为：```E[X] = ∫x f（x） dx （从负无穷到正无穷）```其中，x