对于积分 （int_{0}^{infty} r^2 x^2 e^{-x} , dx） 的求解，你可以使用分部积分法。以下是求解该积分的步骤：

1. 设 （t = rx），则 （dt = r , dx），或者 （dx = frac{dt}{r}）。

2. 当 （x = 0） 时，（t = 0）；当 （x to infty） 时，（t to infty）。

3. 将积分变量替换后，积分变为 （int_{0}^{infty} t^2 e^{-t} frac{dt}{r}）。

4. 使用分部积分法，令 （u = t^2），（dv = e^{-t} dt），则 （du = 2t , dt），（v = -e^{-t}）。

5. 应用分部积分公式 （int u , dv = uv - int v , du），得到：

（int_{0}^{infty} t^2 e^{-t} frac{dt}{r} = left. -t^2 e^{-t} right|_0^{infty} + int_{0}^{infty} 2t e^{-t} frac{dt}{r}）

6. 注意到第一项 （left. -t^2 e^{-t} right|_0^{infty} = 0 - 0 = 0）。

7. 再次使用分部积分法求解 （int_{0}^{infty} 2t e^{-t} frac{dt}{r}），令 （u = 2t），（dv = e^{-t} dt），则 （du = 2 , dt），（v = -e^{-t}）。

8. 应用分部积分公式得到：

（int_{0}^{infty} 2t e^{-t} frac{dt}{r} = left. -2t e^{-t} right|_0^{infty} + int_{0}^{infty} 2 e^{-t} frac{dt}{r}）

9. 第一项 （left. -2t e^{-t} right|_0^{infty} = 0 - 0 = 0）。

10. 第二项 （int_{0}^{infty} 2 e^{-t} frac{dt}{r} = left. -2 e^{-t} right|_0^{infty} = 0 - （-2） = 2/r）。

11. 综上，原积分 （int_{0}^{infty} r^2 x^2 e^{-x} , dx = frac{2}{r}）。

以上步骤展示了如何使用分部积分法求解该积分。