焦半径公式是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式。对于不同类型的圆锥曲线，焦半径的公式有所不同。以下是几种圆锥曲线的焦半径公式：

抛物线

对于开口向右的抛物线 （ y^2 = 2px ） （其中 （ p > 0 ）），焦半径的公式为：

[ r = x + frac{p}{2} ]

对于开口向左的抛物线 （ y^2 = -2px ），焦半径的公式为：

[ r = -x - frac{p}{2} ]

对于开口向上的抛物线 （ x^2 = 2py ），焦半径的公式为：

[ r = y + frac{p}{2} ]

对于开口向下的抛物线 （ x^2 = -2py ），焦半径的公式为：

[ r = -y - frac{p}{2} ]

椭圆

对于椭圆 （ frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 ），焦半径的公式为：

[ r_1 = a + ex_0 ]

[ r_2 = a - ex_0 ]

其中 （ e ） 是离心率，（ x_0 ） 是椭圆上一点的横坐标。

双曲线

对于双曲线 （ frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1 ），焦半径的公式为：

[ r_1 = |ex_0 + a| ]

[ r_2 = |ex_0 - a| ]

其中 （ e ） 是离心率，（ x_0 ） 是双曲线上一点的横坐标。

以上公式中，（ r ） 表示焦半径，（ x_0 ） 和 （ y_0 ） 分别表示圆锥曲线上一点的坐标，（ p ） 对于抛物线是焦距，（ a ） 和 （ b ） 分别是椭圆的长半轴和短半轴，（ c ） 是焦距的一半，且满足 （ c^2 = a^2 - b^2 ） 对于椭圆，（ c^2 = a^2 + b^2 ） 对于双曲线。

需要注意的是，这些公式都是基于圆锥曲线的第二定义推导出来的，即圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率 （ e ）。