要证明x大于lnx，我们可以考虑函数f（x） = x - lnx，并研究其性质。

求导数

对f（x）求导得到：

[ f'（x） = 1 - frac{1}{x} ]

分析导数的符号

当x > 1时，（ f'（x） = 1 - frac{1}{x} > 0 ），说明f（x）在（1，+∞）区间上是增函数。

当0 < x < 1时，（ f'（x） = 1 - frac{1}{x} < 0 ），说明f（x）在（0，1）区间上是减函数。

确定极值点

令f'（x） = 0，解得x = 1。在x = 1处，f（x）取得极小值。

利用极小值判断函数值

由于f（x）在x = 1处取得极小值，且该极小值为f（1） = 1 - ln1 = 1，结合f（x）的增减性，我们可以得出：

对于所有x > 1，有f（x） > f（1） = 1，即x - lnx > 1，从而x > lnx。

对于所有0 < x < 1，虽然f（x）是减函数，但是由于f（x）始终大于其在x = 1处的极小值1，因此x - lnx > 0，即x > lnx。

结论

综上所述，对于所有x > 0，我们都有x > lnx。

这个结论也可以通过其他方法得出，例如使用洛必达法则或者泰勒级数展开，但上述证明方法是比较直观和简单的