对于双重定积分的求导，我们可以使用莱布尼茨积分规则（Leibniz integral rule），该规则适用于对含有变限积分的函数求导。莱布尼茨积分规则如下：

如果有函数 （ I（x） ） 定义为：

[ I（x） = int_{a（x）}^{b（x）} f（t, x） , dt ]

那么 （ I（x） ） 关于 （ x ） 的导数 （ I'（x） ） 可以表示为：

[ I'（x） = f（b（x）, x） cdot b'（x） - f（a（x）, x） cdot a'（x） + int_{a（x）}^{b（x）} frac{partial}{partial x} f（t, x） , dt ]

对于你给出的例子，我们可以按照以下步骤来求导：

1. 首先，我们对外层积分进行求导，使用莱布尼茨积分规则的第一部分：

[ I'（x） = left. int_{0}^{y^2} frac{sin t}{1 + t^2} , dt right|_{y=x} cdot frac{d}{dx}（x^2） - int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1 + t^2} , dt cdot frac{d}{dx}（0） + int_{0}^{x^2} frac{partial}{partial x} left（ frac{sin t}{1 + t^2} right） , dt ]

2. 注意到 （frac{d}{dx}（x^2） = 2x），（frac{d}{dx}（0） = 0），并且 （frac{partial}{partial x} left（ frac{sin t}{1 + t^2} right） = 0），因为 （frac{sin t}{1 + t^2}） 与 （x） 无关。

3. 因此，求导后的表达式简化为：

[ I'（x） = int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1 + t^2} , dt ]

4. 如果需要求二阶导数 （I''（x）），可以再次应用莱布尼茨积分规则。

请注意，这个规则适用于积分限是 （x） 的函数的情况。在你的例子中，积分上限是 （y^2），所以当我们对 （x） 求导时，需要将 （y） 用 （x^2） 替换，并相应地调整积分限和导数项。