混合积，也称为三重积，是向量运算中的一个概念，它涉及到三个向量的乘积，结果是一个标量。具体来说，混合积可以通过以下方式计算：

设三个向量分别为 （ vec{a} ）、（ vec{b} ） 和 （ vec{c} ），则它们的混合积 （ [vec{a}, vec{b}, vec{c}] ） 或 （ （vec{a}, vec{b}, vec{c}） ） 定义为：

[

（vec{a}, vec{b}, vec{c}） = （vec{a} times vec{b}） cdot vec{c} ]

其中 （ times ） 表示向量的叉积， （ cdot ） 表示向量的点积。

混合积的几何意义在于，它给出了由这三个向量构成的平行六面体的有向体积。如果 （ vec{a} ）、（ vec{b} ） 和 （ vec{c} ） 构成右手系，则混合积为正；如果构成左手系，则混合积为负。

混合积具有以下性质：

1. （ [vec{a}, vec{b}, vec{c}] = ） （ [vec{b}, vec{c}, vec{a}] = ） （ [vec{c}, vec{a}, vec{b}] ），即混合积在向量顺序轮换下保持不变。

2. 如果 （ vec{a} ）、（ vec{b} ） 和 （ vec{c} ） 共面，则 （ [vec{a}, vec{b}, vec{c}] = 0 ）。

3. 混合积还满足 （ [vec{a}, vec{b}, vec{c}] = -（vec{b}, vec{c}, vec{a}） = -（vec{c}, vec{a}, vec{b}） ） 等等，显示了反对称性。

理解混合积有助于在向量分析和几何学中处理与体积和方向有关的问题