无界函数（或称为无界函数）是指在一个或多个定义域上，函数的值永远不可能达到某个正数或负数的函数。换句话说，无界函数在某个区间内总是大于或等于某个正数或始终小于或等于某个负数。

例如，考虑一个简单的线性函数：f(x) = x。这个函数在任何实数范围内都是无界的，因为它的值可以无限增大或减小，而不会达到某个特定的边界值。另一个例子是函数 g(x) = x^2，在这个函数中，无论 x 的值多大，g(x) 的值始终是非负的。

需要注意的是，无界函数并不意味着函数在所有方面都是无用的；相反，它们在某些情况下可能非常有用，特别是在数学分析、微积分和概率论等领域。

如何判断函数是无界的呢？

反证法：假设A=a*sina是函数的上界，即对(0,+无穷)上所有实数，均有F(x)=xsinx<=A，此时sina必大于0。但当x=a+2π时，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 。

因为a+2π＞a，sina>0，所以F(a+2π）＝（a+2π），＊sina>a*sina=A，因此相矛盾了。所以函数f（x）为无界函数。

无界函数即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f(x)在定义域上只有上界（或只有下界）；或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数。

相关信息

1、有界性

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有｜f（x）｜≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

2、单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

高数中的有界无界指的是函数的定义域和值域可取的范围。

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界.

比如说是y=arctanx，它在整个实数定义域上有界。

你可以很形象地找到两个界限，一个是y=π/2，一个是y=-π/2，所有函数值超不过这个范围

如果一个函数有最小值和最大值，那么肯定是有界。

最大值和最小值就是界。

无界函数最形象的是y=tanx，当x趋近于π/2时，函数值趋近于无穷大。