讨论函数的连续性通常涉及以下几个方面：

函数在某一点的存在性

函数在该点必须有定义，即函数在该点的函数值存在。

函数在该点的极限存在性

函数在该点的极限必须存在，即当自变量趋近于该点时，函数的值必须趋近于一个确定的数。

极限值与函数值的关系

函数在该点的极限值必须等于该点的函数值，即如果函数在该点的极限存在，那么这个极限值应该等于函数在该点的函数值。

证明函数连续的方法

利用极限的定义

根据函数在某一点的极限定义，通过计算极限值来判断函数是否在该点连续。具体地，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f（x） - L| < ε，其中L是函数在该点的极限值，那么函数f（x）在点x0处连续。

利用函数的性质

如果函数在某一点的左极限等于右极限，并且等于该点的函数值，那么可以推断函数在该点是连续的。例如，对于分段函数，需要分别计算每个分段点处的左极限和右极限，并检查它们是否相等且等于该点的函数值。

利用函数的间断点

函数的间断点是指函数在该点不满足连续性的点。可以通过分析间断点的类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点）来讨论函数的连续性。例如，如果函数在某点的左极限和右极限都存在但不相等，那么该点是跳跃间断点。

例子

考虑函数f（x） = （x^2 - 1） / （x^2 - 1），可以简化为f（x） = 1，但需要注意的是，当x = 1或x = -1时，函数没有定义。

计算极限

当x趋近于1时，lim（x->1） f（x） = 1。

当x趋近于-1时，lim（x->-1） f（x） = 1。

检查连续性

在x = 1处，函数没有定义，但极限值为1，因此x = 1是函数的间断点。

在x = -1处，函数没有定义，但极限值为1，因此x = -1也是函数的间断点。

结论

函数f（x）在区间（-∞, -1）和（1, +∞）上是连续的，但在x = 1和x = -1处不连续。

通过以上步骤，可以系统地讨论和分析函数的连续性。掌握这些方法有助于解决相关的微积分问题。