根据指数运算的定义，对于任何实数x和y，有：

e^(ln(x)) = x

其中e是自然对数的底数，ln是自然对数函数，也称为对数函数。

因此，对于任何实数x，有：

e^(ln(-x)) = -x

现在考虑e^(ln(-x))的倒数。根据倒数的定义，对于任何实数y，有：

1/y = y^(-1)

因此，e^(ln(-x))^(-1) = (-x)^(-1) = -1/x

又因为-1/x可以写成-1/(|x|) x (-1)^2的形式，因此我们可以将其写成：

-1/x = -1/|x| x (-1)^2

现在我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：

e^(ln(-x))^(-1) = e^(ln(|x|) + iπ)^(-1)

其中i是虚数单位，π是圆周率。

根据欧拉公式，有：

e^(iπ) = -1

因此，我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：

e^(ln(-x))^(-1) = e^(ln(|x|) + iπ)^(-1) = e^(-ln(|x|) - iπ) = e^(-ln(|x|)) x e^(-iπ)

现在我们可以使用欧拉公式，将e^(-iπ)写成cos(π) - i sin(π)的形式。由于sin(π) = 0，因此我们可以将e^(-iπ)写成cos(π)的形式。根据三角函数的定义，有：

cos(π) = -1

因此，e^(-iπ) = -1。

现在我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：

e^(ln(-x))^(-1) = e^(-ln(|x|)) x e^(-iπ) = e^(-ln(|x|)) x (-1) = -1/x

因此，e^(ln(-x))^(-1)等于-1/x。又因为e^(ln(-x))等于-x，因此：

e^(ln(-x))^(-1) = (-1/x) = 1/(-x) = 1/(-1) x 1/x = 1/e x 1/(-x/e)

因此，e^(ln(-x))的倒数是1/e乘以一个常数1/(-x/e)，其中x是任何正实数。当x为负实数时，e^(ln(-x))不存在，因为对数函数的定义域是正实数。