如果儿子出国留学，妈妈想要出国打工，可以考虑以下几个目的地：

英国 ：

英国允许家长陪读，并且陪读期间家长是可以打工的。陪读签证通常允许家长在英国寻找工作或学习，并且享受与留学生相同的免费医疗服务。

日本 ：

日本也有陪读签证的政策，家长可以在陪读期间工作。具体的工作机会和申请流程可以通过南京大学国际项目网查询或直接联系相关机构进行咨询。

新西兰 ：

新西兰提供陪读签证，允许父母在照顾孩子的同时进行有限的工作。特别是对于有特定技能的人来说，如木工、架子工、钢筋工等，申请过程相对简单，且费用较低，性价比高。

澳大利亚 ：

澳大利亚的陪读签证允许父母在照顾孩子的同时进行有限的工作。父母可以申请陪读签证，并在满足一定条件后申请永久居住。

加拿大 ：

加拿大对陪读父母的工作许可有较为严格的规定，但父母仍然可以通过申请特殊的工作许可或工作签证进行有限的工作。需要注意的是，加拿大对于持有学生签证的家庭成员有严格的工作限制。

美国 ：

美国的陪读签证（F2签证）通常不允许合法工作，但父母可以申请探亲签证去美国探望孩子。如果父母想要在美国工作，需要申请其他类型的工作签证，如H1签证等。

建议

了解具体政策 ：在决定前，详细查阅目的国的移民局官网或咨询专业的移民律师，了解具体的工作许可和工作类型。

考虑签证要求 ：不同国家的签证要求不同，需确保符合目的国的入境和居留条件。

评估生活成本 ：考虑到打工的收入和当地的消费水平，确保家庭经济状况可以承受。

根据以上信息，妈妈可以根据自身情况和家庭需求，选择最适合的出国打工目的地。