清朝开始有组织地出国留学是在 19世纪70年代。具体来说，清政府从1872年开始实施留学计划，选派学生到国外学习。1872年至1875年间，清政府选派了120名10岁至16岁的幼童赴美留学，这是中国近代史上第一批官派留学生。这些幼童的平均年龄大约在12岁左右，最小的10岁，最大的16岁。其中，容闳带领的30名幼童于1872年赴美国留学，这是第一位留美学生。

此外，清政府还在1877年至1897年间四次派遣留学生赴英国、法国、德国等地学习。这些留学生在回国后对清朝的现代化进程做出了显著的贡献，成为了中国历史上第一批留学生，并为现代中国培养了近两百名思想开放的顶尖精英。

光绪年间，出国留学之风逐渐兴起，清政府派遣官费学生出国留学始于同治年间，至光绪年间日益形成规模。当时的出国学人数以万计，形成了出国留学的热潮。1840年（道光二十年），爆发了第一次鸦片战争，清政府提出的一项图强之策就是先从整军经武开始，派遣官费学生赴欧洲学习军事方面的新技艺，培植军事人才。萨镇冰、刘冠雄、严复等人就是那时被派往英国威林格治皇家海军学院学习的。

光绪二十七年八月初五（1901年9月17日）的上谕中明确“造就人才实为当今要务”，饬令各省都抚一律仿照两湖等省选派学生出国留学的作法办理。从此，各省遵命积极执行，出国留学人数大增。

综上所述，清朝在19世纪70年代起开始有组织地出国留学，主要途径包括政府官派和私人资助。这些留学生不仅学到了先进的科学技术，还带回了对国家和社会的深刻思考，对清朝的现代化进程产生了重要影响。