双曲代换（hyperbolic inversion transformation）是指反演变换的一种，具体定义如下：

反演变换 ：反演变换是一种几何变换，它将平面或空间中的点通过特定的规则映射到另一点。在双曲代换中，这种映射遵循双曲几何的规律。

双曲型反演变换 ：当反演幂 $k > 0$ 时，这种反演变换称为双曲型反演变换。在这种情况下，$k$ 可以表示为 $k = r^2$，其中 $r > 0$，$r$ 称为反演半径。

反演基圆（球） ：在双曲代换中，通常选择一个圆（球）作为反演基圆（球）。这个圆（球）以反演中心 $O$ 为圆心，以反演半径 $r$ 为半径。

二重点 ：在反演基圆（球）上，点的反演点是它自身，这样的点称为反演变换的二重点。

双曲代换在数学分析、积分计算和几何变换等领域有广泛应用。例如，在处理某些类型的积分问题时，通过双曲代换可以简化计算过程。

应用示例

一个常见的双曲代换示例是用于计算积分 $int frac{dx}{1 - x^2}$。通过双曲代换 $x = sinh（theta）$，可以将该积分转换为更容易处理的形式。

总结

双曲代换是一种重要的数学工具，通过反演中心和反演半径，将点映射到其自身，从而简化复杂的积分计算和几何问题。