求曲率圆方程的步骤如下：

一、计算曲率半径 R

曲率半径 R 的计算公式为：

$$ R = frac{1}{K} $$

其中 K 是曲线在点 M 处的曲率，曲率 K 的计算公式为：

$$ K = frac{|y''|}{(1 + (y')²)^{3/2}} $$

二、确定曲率中心 （α, β）

计算一阶导数和二阶导数

设曲线方程为 $y = f（x）$，则一阶导数 $f'（x）$ 和二阶导数 $f''（x）$ 分别表示切线斜率和曲率变化率。

计算切线方向角的正切值

切线斜率 $k = f'（x）$，则切线方向角的正切值为 $k = tan theta$，其中 $theta$ 是切线与 x 轴的夹角。

计算法线方向角

法线方向角 $theta_n = theta pm frac{pi}{2}$，根据曲线凹凸性选择“+号”或“-号”。

确定圆心坐标

曲率中心 $（alpha, beta）$ 的坐标公式为：

$$ alpha = x_0 - frac{f'(x_0)}{1 + (f'(x_0))²} cdot frac{1}{f''(x_0)} $$

$$ beta = y_0 + frac{1}{1 + (f'(x_0))²} cdot frac{1}{f''(x_0)} $$

其中 $（x_0, y_0）$ 是曲线上的点 M。

三、构建曲率圆方程

以曲率中心 $（alpha, beta）$ 为圆心，曲率半径 R 为半径的圆方程为：

$$ (x - alpha)² + (y - beta)² = R² $$

四、注意事项

凹凸性判断

若曲线在点 M 处是凹的，则曲率圆在法线外侧取点 D；若为凸的，则在法线内侧取点。

公式验证

通过将圆心坐标代入曲率圆方程，验证是否满足几何条件。

示例

以曲线 $y = x^2$ 在点 $（1, 1）$ 处为例：

计算导数：$f'（1） = 2$，$f''（1） = 2$

计算曲率半径：$R = frac{1}{K} = frac{1}{frac{2}{（1+4）^{3/2}}} = frac{5}{2}$

计算圆心坐标：

$$ alpha = 1 - frac{2}{1+4} cdot frac{1}{2} = frac{4}{5} $$

$$ beta = 1 + frac{1}{1+4} cdot frac{1}{2} = frac{7}{5} $$

得到曲率圆方程：

$$ left( x - frac{4}{5} right)² + left( y - frac{7}{5} right)² = left( frac{5}{2} right)² $$

通过以上步骤，可系统求解任意曲线的曲率圆方程。