要证明 (1 + 1 = 2)，我们可以基于皮亚诺公理（Peano Axioms）进行严格推导。以下是详细步骤：

1. 自然数的定义与皮亚诺公理

皮亚诺公理定义了自然数的基本结构：

公理1：(0) 是自然数。

公理2：每个自然数 (n) 都有一个唯一的后继 (S(n))，且 (S(n)) 也是自然数。

公理3：(0) 不是任何自然数的后继（即 (S(n) neq 0)）。

公理4：若 (S(a) = S(b))，则 (a = b)（后继的唯一性）。

公理5（数学归纳法）：若一个命题对 (0) 成立，且若对任意自然数 (n) 成立时对 (S(n)) 也成立，则该命题对所有自然数成立。

基于这些公理，我们定义：

(1 = S(0)),

(2 = S(S(0))),

以此类推。

2. 加法的递归定义

自然数的加法可通过以下两条规则定义：

基始条件：对任意自然数 (a)，有 (a + 0 = a)。

递归步骤：对任意自然数 (a, b)，有 (a + S(b) = S(a + b))。

3. 证明 (1 + 1 = 2)

根据定义，(1 = S(0))，因此需要计算：[1 + 1 = S(0) + S(0)]

步骤分解：

应用加法定义的递归步骤：[S(0) + S(0) = S(S(0) + 0)]

应用基始条件 (S(0) + 0 = S(0))：[S(S(0) + 0) = S(S(0))]

根据定义，(S(S(0)) = 2)。

(1 + 1 = 2) 得证。

4. 直观解释

物理意义：若将 (1) 视为一个物体，再添加一个物体，总共是两个物体。

逻辑意义：加法遵循自然数的结构，每一步都严格由公理保证。

附注：罗素与怀特海的《数学原理》

在罗素和怀特海的《数学原理》中，(1 + 1 = 2) 的证明出现在第 379 页。其复杂性源于他们从更基础的逻辑公理出发（如集合论、命题逻辑），逐步构建自然数和加法。现代数学已通过皮亚诺公理大幅简化了这一过程。

结论：在皮亚诺公理体系下，(1 + 1 = 2) 是严格成立的。