关于考研数学中极限的书写规范和要点，综合权威信息整理如下：

一、极限的基本符号与表示方法

基本符号

极限的标准符号为：

$$limlimits_{x to a} f(x) = A$$

其中，$a$ 可以是有限值（如 $x to 0$）、$+infty$、$-infty$ 或 $0^+$、$0^-$ 等特殊值。

单侧极限

右极限 ：$limlimits_{x to a^+} f（x）$

左极限 ：$limlimits_{x to a^-} f（x）$

可以通过 $f（a+0）$、$f（a-）$ 等符号表示。

二、极限的计算方法

四则运算法则

若 $limlimits{x to a} f（x） = A$ 且 $limlimits{x to a} g（x） = B$，则：

$limlimits_{x to a} [f（x） pm g（x）] = A pm B$

$limlimits_{x to a} [f（x） cdot g（x）] = A cdot B$

$limlimits_{x to a} frac{f（x）}{g（x）} = frac{A}{B}$（需注意分母极限不为零）。

两个重要极限

$limlimits_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$

$limlimits_{x to infty} left（1 + frac{1}{x}right）^x = e$

这两个极限在求解复杂函数极限时经常用到。

等价无穷小替换

当 $x to 0$ 时，$sin x sim x$，$tan x sim x$，$arcsin x sim x$ 等，可简化计算。

三、典型例题解析

例1 ：求 $limlimits_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3}$

解：利用泰勒公式展开 $sin x = x - frac{x^3}{6} + O（x^5）$，则原式变为：

$$limlimits{x to 0} frac{x - frac{x^3}{6} - x}{x^3} = limlimits{x to 0} left(-frac{1}{6}right) = -frac{1}{6}$$

若用洛必达法则需两次，计算较复杂。

例2 ：判断 $x=1$ 是否为函数 $f（x） = frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极值点

解：先化简函数为 $f（x） = x + 1$（$x neq 1$），则 $limlimits_{x to 1} f（x） = 2$，但 $f（x）$ 在 $x=1$ 处无定义，故不是极值点。

四、注意事项

极限存在的准则

$epsilon-delta$ 定义 ：$limlimits_{x to a} f（x） = A$ 当且仅当对任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$，使得 $|f（x） - A| < epsilon$ 当 $0 < |x - a| < delta$

左右极限相等 ：函数在 $x to a$ 处极限存在当且仅当 $limlimits{x to a^+} f（x） = limlimits{x to a^-} f（x）$

常见错误规避

避免混淆 $limlimits{x to 0} frac{sin x}{x}$ 与 $limlimits{x to 0} frac{tan x}{x}$，后者极限不存在

使用洛必达法则时需检查条件，如 $