在求解形如 $frac{1}{x（1+x^2）}$ 的积分时，拆项法是一种常用的技巧。具体步骤如下：

一、设定拆分形式

将分式拆分为部分分式之和：

$$

frac{1}{x(1+x^2)} = frac{A}{x} + frac{Bx+C}{1+x^2}

$$

其中，$A$、$B$、$C$ 是待定系数。

二、通分并确定系数

将右边的分式通分：

$$

frac{A}{x} + frac{Bx+C}{1+x^2} = frac{A(1+x^2) + x(Bx+C)}{x(1+x^2)} = frac{A + Ax^2 + Bx^2 + Cx}{x(1+x^2)}

$$

将分子合并同类项：

$$

A + (A+B)x^2 + Cx

$$

根据等式两边分子对应项系数相等，得到方程组：

$$

begin{cases}

A = 1

A + B = 0

C = 0

end{cases}

$$

解得：

$$

A = 1, quad B = -1, quad C = 0

$$

因此，拆分结果为：

$$

frac{1}{x(1+x^2)} = frac{1}{x} - frac{x}{1+x^2}

$$

三、分别积分

对拆分后的分式分别积分：

$$

int frac{1}{x(1+x^2)} , dx = int left( frac{1}{x} - frac{x}{1+x^2} right) , dx

$$

$$

= ln|x| - frac{1}{2} ln(1+x^2) + C

$$

其中，$int frac{x}{1+x^2} , dx$ 通过换元法（令 $u = 1+x^2$）可求得。

总结

通过待定系数法，将复杂分式拆分为简单分式之和，再分别积分，是解决此类积分问题的有效方法。关键在于合理设定拆分形式，并通过系数对比确定未知数。