数学中极限的定义如下：

通俗解释 ：极限描述了一个函数值随着自变量无限接近某一点时的“趋势”。例如，当 $x$ 无限靠近 2 时，$f（x）$ 的值会无限接近 4，即使 $x$ 永远不等于 2。

数学定义（ε-δ语言） ：对于函数 $f（x）$，若对任意给定的正数 $varepsilon$，存在正数 $delta$，使得当 $0 < |x - a| < delta$ 时，有 $|f（x） - L| < varepsilon$，则称 $f（x）$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限为 $L$，记作 $lim_{{x to a}} f（x） = L$。

左极限与右极限 ：

左极限：仅从左侧靠近 $a$ 时的极限，记为 $lim_{{x to a^-}} f（x）$。

右极限：仅从右侧靠近 $a$ 时的极限，记为 $lim_{{x to a^+}} f（x）$。

广义极限 ：极限也可以广义地理解为“无限靠近而永远不能到达”的意思。即，某一个函数中的某一个变量在变大或者变小的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值 $A$ 不断地逼近而永远不能够重合到 $A$ 的过程中，此变量的变化被人为规定为永远靠近而不停止。

数列极限 ：设为数列 ${a_n}$，$A$ 为定数。若对任给的正数 $varepsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - A| < varepsilon$，则称数列 ${an}$ 的极限为 $A$，记作 $lim{{n to infty}} a_n = A$。

函数极限 ：设 $f$ 为定义在区间 $[a, +infty）$ 上的函数，$A$ 为定数。若对任给的 $varepsilon > 0$，存在正数 $M geq a$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f（x） - A| < varepsilon$，则称 $f（x）$ 在 $x$ 趋近于 $+infty$ 时的极限为 $A$，记作 $lim_{{x to +infty}} f（x） = A$。

极限的概念是微积分和数学分析的基础，广泛应用于理解和解决实际问题。