方差除以12的原因与随机变量的期望值和方差计算有关。

首先，假设随机变量 $X$ 服从区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为：

$$f(x) = frac{1}{b-a}, quad a < x < b$$

计算期望值 $E（X）$ ：

$$E(X) = int{a}^{b} x f(x) , dx = int{a}^{b} x cdot frac{1}{b-a} , dx = frac{1}{b-a} int{a}^{b} x , dx$$

$$int{a}^{b} x , dx = left[ frac{x^2}{2} right]_{a}^{b} = frac{b^2}{2} - frac{a^2}{2} = frac{b^2 - a^2}{2}$$

$$E(X) = frac{1}{b-a} cdot frac{b^2 - a^2}{2} = frac{a+b}{2}$$

计算方差 $D（X）$ ：

方差的公式为：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

首先计算 $E（X^2）$：

$$E(X^2) = int{a}^{b} x^2 f(x) , dx = int{a}^{b} x^2 cdot frac{1}{b-a} , dx = frac{1}{b-a} int{a}^{b} x^2 , dx$$

$$int{a}^{b} x^2 , dx = left[ frac{x^3}{3} right]_{a}^{b} = frac{b^3}{3} - frac{a^3}{3} = frac{b^3 - a^3}{3}$$

$$E(X^2) = frac{1}{b-a} cdot frac{b^3 - a^3}{3} = frac{b^2 + ab + a^2}{3}$$

然后计算方差：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = frac{b^2 + ab + a^2}{3} - left( frac{a+b}{2} right)^2$$

$$D(X) = frac{b^2 + ab + a^2}{3} - frac{(a+b)^2}{4}$$

$$D(X) = frac{4(b^2 + ab + a^2) - 3(a+b)^2}{12}$$

$$D(X) = frac{4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12}$$

$$D(X) = frac{b^2 - 2ab + a^2}{12}$$

$$D(X) = frac{(b-a)^2}{12}$$

因此，方差 $D（X）$ 除以 12 是因为：

$$D(X) = frac{(b-a)^2}{12}$$

这个结果表明，对于区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，其方差是区间长度的平方除以 12。